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More is different
More is different. 是凝聚態理論學家 P. W. Anderson的一篇有名的文章。解釋凝聚態理論中的核心概念-湧現現象（emergent phenomena）。
小時候學過一句話叫”打破沙鍋問到底”。問到底好像變成做學問的一貫方向，小還有更小。我們從天空為什麼是藍的？因為空氣中有一堆有的沒的東西散射。那什麼是空氣？空氣是不同氣體組成的，大部份是氮氣，有一些是氧氣。那氧氣是什麼？是氧分子在氣態的物質態。那氧分子是什麼？是氧原子形成的雙原子分子。那氧原子是什麼？是一個具有特定結構原子核和一堆電子組成的東西，它小到我們肉眼無法看見。那原子核是什麼？是一個具有電中性的中子和帶正電的質子組成的東西…我們很熟悉這種把大的現象/物件慢慢的往微觀問問題的模式。反正往小一點的地方問，因為小是一個比較的概念，總是有很大機會有一個比較小一點的世界可以研究。
這種試圖找到更微觀的方法理解比較巨觀的現象或物質的方式，就是還原論。還原論基本上相信，如果我們知道這些小一點的微觀物件的性質，知道他們在做什麼。我們就好像『了解』了巨觀的現象或物質。
與還原論相比，有另外一種理解問題的哲學「湧現論」，湧現論指出， 了解各個小部份的運作原理，利用很多個小部份的運作原理去重建並幫助我們了解更大尺度的物理現象，本質上不一定可以達成。 最生活的例子，就是見樹不見林的概念。如果我們把一張點陣圖，一直放大，放大到我們只看得到幾個像素。我們就沒辦法了解這張圖本來可能是一隻章魚的局部顏色。從局域的完整資訊，並無法幫助我們有效的判斷這張個局域資訊其實是章魚的一部分。也就是不同尺度的適當描述或是理解方法，不一定是同一套。以凝聚態物理來說，我們都知道材料就是一堆電子和原子合組裝出來的。但是材料卻有千奇百怪的性質，導體、半導體、普通絕緣體、拓樸絕緣體、磁性物質、超導體等等。了解一個電子、一個原子核帶多少電量，交互作用形式是庫倫作用力，和了解這些材料的物理性質有著天大的差別。
講到這裡就開始有一點『該不該放芹菜』的意味。學術品味各有不同。有些人恨透芹菜，有些人覺得芹菜是絕妙的一手。博士班我學習到另外一個重要的精神就是開闊的心胸（open minded），我們可以有自己的堅持想煮出不含（或含）芹菜的陽春麵，但是不代表我們不能欣賞別人含（或不含）芹菜的蘿菠湯。如果這個加了（或去掉）芹菜創造出來的配方，在蘿菠湯的範疇裡改變了人們對蘿菠湯的認識，那這就是蘿菠湯研究理的重要一步。當我們理解了芹菜和蘿菠湯搭配的美妙之處，或許可以找到非芹菜的替代品改良我們的陽春麵。也就是說，如果我們可以看出來芹菜如何改變了我們對蘿菠湯的理解，我們的知識就往前了一步。這個改變可大可小，一樣是新的發現，有些發現影響深遠，有些發現生命期短暫。如何嗅到影響深遠的問題方向，並朝著大方向研究有意義的小問題，利用小問題拼湊大問題的解答，是科學家們一輩子的學習。學會從不同角度欣賞他人研究，便成為可不可以從不同角度獲得靈感的重要能力。我博士班也有目睹其他人的好工作沒有用不同角度被欣賞而埋沒。後來才意識到學術的廣度的重要性。 學術的廣度有的時候除了品味還有可能幫忙更早發現新的詮釋。Efimov物理的發現史，是一個很有趣的過程。核物理裡面發現的奇特解，竟然展現在試著抓住冷原子的陷阱的粒子損失中。了解更多物理的發展過程，幫助我看到物理研究更大的脈絡，有助於定位自己的研究。我自己的經驗告訴我，如果知道自己在做什麼，為什麼要做這件事，可以保護自己對物理的熱情。
為什麼了解各個小部份的運作原理，利用很多個小部份的運作原理去重建並幫助我們了解更大尺度的物理現象，本質上不一定可以達成？ 一種看法是複雜性，當你知道各個小部份之間如何交互作用後，當需要重建 $10^{23}$ 個這些小東西的行為，我們可能需要超出最強古典電腦可以負荷的模擬能力。就算有一天我們實現了量子電腦，所以有辦法模擬這個含天文數字自由度的系統，我們學會了什麼新知識？我們可以解讀他們如何達成巨觀的行為嗎？還是我們只是說：最後這群電子他們就是變成了超導體。
另外一種看法是：你已經知道有一些行為無法藉由了解各個小部份的交互作用理解。因為有一些現象或行為是一大群小部份的集群行為（collective behavior）。舉例來說，如果某個現象的定義是：所有巨觀數量的人都做同一件事。只有一個人那當然就無法滿足第一個條件”所有巨觀數量的人”。比如玻色愛因斯坦凝結（Bose-Einstein condensate），就是一個巨觀數量的原子講好一起待在基態的集群行為。更廣泛來說，相變（phase transition）都是這類集群行為。
描述這類集群行為的理論，就是我們所謂的等效理論。類似於座標變換的概念，原本系統有千千萬萬個小自由度，但是如果你發現了系統存在某種特定的集群模式，你可能會想：說不定我們不需要用這麼多千千萬萬個小自由度去描述系統的行為，因為這太沒效率了。或許我們可以了解如何去描述這個集群模式，用更有效率的自由度描述這個系統的特定行為。其實我們常常在用這個概念。比方說描述水波前進的速度，我們可以嘗試用千千萬萬個水分子的座標和速度，描述水波的運動。但是我們從來沒有這樣做過，反而，我們利用波動方程式去說明水波該如何前進（水波的形狀等等，就是更有效率的自由度。）從這個例子我們也知道，等效理論是目的取向的。當你在意的是水波的運動，你的等效理論運用波動方程式非常有效率的描述波動行為，圓滿達成任務。但是如果我們想知道滴一滴紅墨水，紅墨水怎麼在這個波動中擴散開來，這個等效理論就無法直接使用，而需要改善，放入更多其他相關的資訊，比方水的溫度，擴散係數等等。面對未知的現象，怎麼找到正確優雅的了解方式，就是一門靠經驗、創新的藝術了。(優雅的東西不一定正確，正確的東西不一定要優雅。如果一定要選一個，我通常是選擇正確:) 。)
當我們了解湧現論的可能性以後，我們可以問很多有趣的問題：為什麼自由度的數量扮演如此重要的角色？這種量變產生質變的機制是什麼？什麼樣的理論是有可能用湧現論的精神實現？我可以用湧現論製造出一個具有類似電子的粒子，並且粒子間交互作用是 $|r|^{-2}$ 的交互作用力嗎？從微觀模型出發，有沒有什麼方法可以幫助我們了解湧現的過程，一步一步的幫助我找出不同尺度下在意的的行為？如果我不知道微觀理論，我可以知道什麼樣的理論是不可能利用湧現機制產生嗎？這些問題在世世代代凝聚態理論學家的努力下，有一些是有大致的概念，但是一個最廣義的問題，湧現機制的限制以及可能依然是一個開放的大方向。通常如果可以發現一個本質上新的湧現機制，都是非常重要的里程碑，並且拿國際大獎的程度。比方量子霍爾效應、超導體、玻色愛因斯坦凝結、拓樸絕緣體等。
多體？很多自由度在一起就叫多體？
多體和強關聯系統常常是我們領域中提到的描述。什麼是強關聯系統？是交互作用力很強嗎？費米流體是一個強關聯系統嗎？這個問題就算問同領域的人都可能會獲得不一樣的答案。我試著描繪一個我想領域中大家可以同意的定義方法。所謂多體物理或是強關聯物理，通常是在描述一個系統自由度$N$（$N$很大，通常$N\sim 10^{23}$）的系統，並且每個自由度的行為會影響到其他自由度並產生群集行為（collective behavior）。而這種群集行為無法簡化成一個可以藉由有限個自由度$M$（例如$M=10$）產生的行為。
舉例來說，三對三籃球賽，一場一共六個人。就算我們有200萬場3對3籃球賽。總共1200萬人參加。這不會給出有趣的多體行為。因為，每一場籃球賽最多六個人。這兩百萬場籃球賽，每一場都是一樣的規則。每次得分可以是1~4分。不會有定性上不一樣的行為。一旦了解籃球的各種規則，就算有兩百萬場，都可以用籃球規則理解。
1200萬人還可以做另外一件事–投票。投票只有一種規則，票多的贏。但是得票的分佈和決定投誰的過程，卻是一個超級複雜的多體行為。可以有地緣政治因素，這種是local interaction（和你是local 哪裡有關係，花蓮有花蓮的文化，苗栗有苗栗的風情）。可以有棄保因素、可以有媒體操弄，這種是non-local（住在全台都可能看到特定取向的報紙，資訊傳播可以跨越全島。從理論物理角度，non-local interaction太強會把行為簡化，因為不會出現競爭行為（competing effects）。舉例來說，如果所有人都被洗腦成非某種顏色不投，一個簡單預測結果的方式就是，做一個CMYK色盤民調，我們就可以預測結果了。） 。所以投票基本上不是一個搞懂花蓮縣會怎麼投，我們就可以預測其他縣市的行為。
這個看似是一個無法了解的複雜系統。但是，投票行為卻可以有有趣的章魚哥現象，開票的時候大家會說我們可以看某個小投票區。當1200萬票還沒開出來前，把這個小區得票做分析，就可以知道整個得票比例。也就是說，如果我們可以把1200萬人的投票行為作為原始的變數，章魚哥投票區的存在表示我們可能存在一種變數變換方式，把這1200萬人的行為壓縮轉換成在這個章魚哥投票區的投票人行為。這是一個非常神奇的現象。這個章魚哥投票區，就是投票行為的等效理論。不過，章魚哥投票區通常是後見之明。如果沒有任何投票資訊的統計，從原始的1200萬人推論出章魚哥投票區需要滿足的條件，就是一個非顯然的過程了。在理論物理研究中，這個非顯然的過程通常伴隨很多有趣的概念，這就是大部分研究多體物理的凝聚態理論學家有興趣的問題。這個過程中包含模型建立、模型分析和驗證。模型的建立和分析又有各種手法，微觀模型分析、巨觀對稱性分析、一部分一部分引入不同時間或空間尺度效應的重整化群、各種各樣的平均場理論等等。都是從事凝聚態理論物理研究中會學習到的如何去定義或分析問題的方法。
這裡就可以看出，平平是1200萬人，但是問題的複雜性卻是天差地遠。兩百萬場的三對三籃球賽不是More is different 的例子。投票行為比較符合More is different的意味（總統大選v.s.選班長，more is different）。這也是為什麼多體物理如此有趣的因素。
一個經典的物理例子就是二維電子系統。在一個充滿路障的二維空間中，對電子們加上一個外在的大磁場，我們竟然可以在二維空間的邊界上形成單行道，讓他們無視路障的存在。甚至他們的電導率竟然跟物理世界的基本常數們有關，和路障長啥樣沒關係。這實在是太神奇了～這個現象叫做量子霍爾效應（Quantum Hall effect）。（這是我第一次感覺到凝聚態物理好有趣的例子。當然之後還有很多，也讓人感到非常挑戰想像力的各種神妙機制。）更神奇的是，這東西竟然可以被做出來還可以量。在我不算很長的研究生涯中，見識到實驗學家們各種花式實現奇怪東西的能力，也讓這個領域變成一個由創造力挑戰、堅實數學物理深度、材料想像力、實驗數據和基礎問題交織出兼具廣度和深度的多邊形研究領域。
等效理論大觀園-流體力學、費米液體、湧現規範場論
什麼是等效理論？上面我們舉了一個簡單的科普例子，但是不是用很精確的語言描述。在凝聚態理論中，有很多更精確描述的等效理論例子。從古典的流體力學（當微觀時間尺度和巨觀時間尺度差很多的時候會出現的理論），到量子的費米液體（費米子統計特性讓他們喜歡疊羅漢，疊著疊著，下面的電子基本上都被壓著不敢動，在上層的反而可以很活潑的交流資訊。），甚至可以跨領域的實現高能物理或場論中很重要的規範場。除了提供不同的角度去理解原本的問題，也可以利用可控的系統模擬另外一個未知的系統，並擴張我們對基礎問題的了解。這也是等效理論另外一個很重要的應用。也因為這個因素，等效理論除了可以幫助我們了解本來的問題，也可以是一個建立跨領域連結的強力工具。怎麼使用就是見招拆招；兵無常勢，水無常形。
除了上面的水波系統，有沒有什麼大一普物理學中的例子幫助我們了解什麼是等效理論？我們可以稍微回想一下，在普通物理範疇，我們會學到牛頓力學、熱力學（統計力學）、電磁學（相對論）、量子物理。我們發現牛頓力學有所謂的牛頓運動定律描述質點運動、電磁學有馬克思威方程描述電磁波的行為、量子力學有薛丁格方程式描述波函數的行為。都是一些有明確描述對象和其他物理量的“等號的關係”。但是熱力學的“定律”相較之下好像就不是這樣的一回事，描述對象可以是一大群質點，數量還可以不一樣。也不考慮系統隨時間演化而專注在平衡態。主要原因是熱力學是統計力學的“等效理論”。也就是說，當我們用微觀的角度分析系統的時候，是一大群粒子在做複雜的行為，但是在一些廣泛的物理假設下，結合統計的概念，我們可以發展出一套理論系統，廣泛的解釋熱力學理論架構的來源。整個統計力學，某種程度上可以說是熱力學這個湧現現象的基礎。
熱力學其實是一個“現象學理論”，也就是說他是建基在大量的實驗驗證。這個現象學理論的目標就是用最少的假設，最少的物理量，建構出物理量之間最核心的關係，以符合實驗的結果。但是，這些物理量和他們之間的關係的微觀圖像不在熱力學的討論範疇內。而統計力學則是在探討如何從微觀角度下，系統化建構出對應的熱力學行為，並給出理論預測。