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古典與量子的本質差別：組態與量子態
從理論結構來說，物質的狀態在古典物理中是用古典的組態(configuration)去描述。這種組態可能是質點的位置、速度、磁矩的向量、磁矩向量所在位置等等。而他們的動力學行為則遵守牛頓第二定律（$ \vec{F}=m\vec{a}$），不同的交互作用力決定這些組態隨時間如何演化。系統中可能有能量不守恆的耗散力(dissipative force)或是維持系統能量守恆的保守力。
量子系統則是使用波函數描述系統狀態。波函數是什麼？可以想成古典系統可以有各種可能的組態，而這些組態的概念是在某個時間點下，系統就是長那個樣子。（例如：$t=0$時，組態1是， A粒子在原點。組態2是A粒子在$x=3.221$。組態3是A粒子在$x=-1.732$等等）而量子系統中則是利用量測概念去描述波函數。當我們對一個系統量測的時候，可以出現各式各樣的結果。（比方說A粒子因為某些物理理由或是理論上為了簡化討論只能在x軸上跑來跑去。那量測A粒子的位子就是所有可能的$x\in(-\infty,\infty)$。如果量出A粒子y軸座標不為0那表示實驗做錯了。）對於一個量子系統，這些古典允許的結果（所有可能的組態）如果我們把它當作描述這個系統瞬時狀態所需要的成份，我們就需要某種把不同組態『集中』在一起的概念。量子力學提出『集中』的辦法就是這些不同組態都是線性空間中的基底（basis），我們把這些成份『集中』起來（集中起來在操作上就是把這些基底以不同係數相加，比方說一個系統可以處在$x=0$ 『加上』$x=0.5$ 這種狀態），這個量子系統在量測之後的所有可能都被包含在這個集中的物件中。這個基底形成的線性空間就叫Hilbert空間，這個活在Hilbert空間中的物件就叫做波函數（wavefunction），通常我們用 \(|\psi\rangle\) 表示波函數，而這些基底取決於量測的量是什麼，當我們量測對象是位置時，我們可以用 \(|x\rangle\) 表示位置的基底。對量子系統量測，也等同於對波函數量測。量子力學的量測本身就是一個巨大的開放問題，我們這裡就先不深入討論，只描述對波函數量測的一個重要行為–量子塌陷。量子力學中，量測過後的波函數，會因為量子塌陷而變成量測完的狀態。也就是說量測前系統可以處在$x=0$『加上』$x=0.5$ 這種狀態。量測做後如果得到量測結果是$x=0$，則表示量測後的系統是百分之百在$x=0$的狀態。這個過程就是量子塌陷。
量子系統的動力學，基本上就是討論波函數隨時間如何變化，就像古典動力學在討論古典系統的組態隨時間怎麼演化一樣。而扮演古典力學中牛頓力學角色的就是Schrödinger方程式。古典力學討論作用力如何讓系統在不同時間下改變組態，量子力學則是討論波函數如何隨Hamiltonian在不同時間下演化。
\[i\partial_t|\psi\rangle=\hat{H}|\psi\rangle\]波函數這個概念妙就在於這個『集中』起來的概念。集中是什麼意思？這些不同係數是什麼意義？為什麼波函數的係數是複數？這和Schrödinger方程式有什麼關係？這都是學習量子力學很好的問題。學習完整量子力學也不是三言兩語可以完備。以下提供我覺得不錯的學習資源，之後我會試著用簡短但不精確的人類語言試著傳達這個『集中』是什麼意思。
這邊推薦幾本好的教科書：（1) Shankar, “Principles of quantum mechanics” （可以自學的入門書，小時候長大的自修讀物。）(2) Kurt Gottfried and Tung-Mow Yan, “Quantum Mechanics: Fundamentals”（博士班認識到的書，言簡意賅但是不適合起手，適合學過一些基本量子知識後，發現自己學得不夠仔細用。）(3) Michael Tinkham, “Group Theory and Quantum Mechanics”（量子力學與對稱性的關係緊密，大部份量子力學為主的教科書不一定討論。然而在原子分子能階以及固態系統中，群論是非常重要的概念。曾經在演講的時候聽到有人說選擇定理和什麼過程無關，聽了快昏倒，但是也不好意思糾正。）
基本上，這個『集中』起來的概念和量子力學中的干涉現象緊密。干涉現象可不是量子力學的專利，古典系統的波本來就具有干涉現象。為什麼量子力學中這個『集中』卻製造出很多玄妙的行為？主要因素在於量子力學中，波函數本身不是一個可觀測的物理量。我們只能觀測到波函數的機率分佈。也就是我們只能藉由實驗得知A粒子在$x=3.2$的機率是多少，但是我們沒有實驗可以知道波函數的係數確切值。其中奧妙之處就在於『集中』這個過程，波函數各個基底的係數允許是虛數，虛數除了大小還有相位的概念。這個相位讓量子系統多了許多古典系統所無法產生的奇特現象。(關於相位的重要性：P. A. M. Dirac, Fields Quanta, 3, 154 (1972)，有一小段Dirac在思考量子力學中最重要的概念是運算子的非對易性還是波函數的概念 ，它覺得是因為波函數中相位的概念是干涉的起源，但是他的物理意義是不易被發現的，也使量子力學在更晚的時候才被發展出來。)
事實上，這個『集中』的概念在教科書上通常叫線性疊加原理（Superposition principles）。（雖然『原理』通常意思是不要再問下去了，因為講的人會講不清楚。但是我們還是可以時不時的挑戰自己。我從博班指導教授身上學到：一定有不同種類的困惑時時發生，我們可以把那些想不清楚的問題存起來，三不五時就把他們拿出來想一想。有的時候會有進展，有的時候沒有。就像放個魔術方塊在書架上，偶爾拿出來轉幾下，有天就有可能會轉出來。XD ）
這個線性疊加的架構，也讓量子系統與古典系統有本質的不同。古典系統我們不會期待一個一樣的系統組態，我們每次量測答案不一樣。給了一樣的起始組態，它就是那個樣。量幾百次都是一樣。量子系統就不同了，因為一個系統是由波函數描述而不是一個單一組態，而波函數本身就有不同機率分佈在不同組態。每次量測都有機率性獲得不同的組態的結果。
線性疊加與量子糾纏：簡單到不能再簡單的例子
Everything should be made as simple as possible, but not simpler—???
上面這句話的意思是，把最重要的概念萃取出來（Make it as simple as possible.）但是不要過度簡化（But not simpler.），並不是說這個概念很簡單（easy）。遵守這個精神，我們找一個最簡單但是可以表示我們上面講的那些概念的例子。自旋1/2的量子自旋系統(quantum spin)–由於量子電腦的熱門，也有人叫這種系統q-bit（量子位元，quantum bit），因為他是量子版本的二位元系統。
為了要有『集中』的概念，至少要有兩個東西才有辦法集中(Simple but not simpler.)，也就是我們需要一個有兩個基底的Hilbert空間， $\mathcal{H}$ 。q-bit可以是自旋向上或向下( $|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$ )，對應到0或1 ( $|0\rangle,|1\rangle$ )。當我們只有一個q-bit時，最廣義的波函數是 $|\psi\rangle =c_1|\uparrow\rangle+c_2|\downarrow\rangle$ 。波函數$|\psi\rangle $ 則是自旋向上被量測到的機率正比於 $ |c_1|^2$而有正比於 $ |c_2|^2$的機率會量出自旋向下的結果。
有些科普演講會說量子位元就是可以同時是自旋向上也是自旋向下。這其實讓物理學家聽起來好像腦袋不太正常。那是因為這其實是一個錯誤的說法。很容易理解的方式是：如果你朝著東北方前進，不會有人說你同時朝著正東方和正北方前進。因為你是朝著東北方走，不是正東方，也不是正北方。
上面的波函數是針對一個量子位元所寫下的。如果我們把線性疊加原理應用在多個量子位元中，那就可以有另外一個重要的延伸的概念：量子糾纏（quantum entanglement）。量子糾纏這個延伸概念不只在量子物質態以及量子電腦的研究扮演重要角色，甚至可能具有更基礎的意含，連結到規範場的本質。我們先用我們簡單到不能再簡單的q-bit系統了解量子糾纏是什麼意思。
當我們有兩個q-bits(最簡單的「多」個量子位元)，我們具有的組態總共就是四個，利用他們當作基底我們有這四個基底， $|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2, |\uparrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2,|\downarrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2$和 $|\downarrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2$ ，這些基底可以任意線性疊加產生這個系統的波函數。這裡下標1,2表示第一個和第二個q-bit。這邊要先介紹所謂的直積（direct product $\otimes$），表示我們把第一個和第二個q-bit放在一起，而需要在更大的Hilbert space中考慮他的意義。也就是說這些基底（這四個基底）其實是一個更大的Hilbert空間的一組基底。而這個更大的Hilbert空間，是由兩個小的Hilbert空間（ $\mathcal{H}_1$（基底是 $|\uparrow\rangle_1,|\downarrow\rangle_1$）和 $\mathcal{H}_2$（基底是 $|\uparrow\rangle_2,|\downarrow\rangle_2$））組裝出來（ $\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2$）的空間。通常因為懶惰的理由，這個直積的符號都會被忽略，從上下文關係，而利用下標1,2理解這個基底是在一個有兩個q-bits的空間中。
當我們開始應用線性疊加原理後，我們可以發現有一些基底的組合可能和某些基底組合有著細緻的不同。
第一類型的波函數，我們可以發現 $|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2$ 是兩個各自活在自己小空間的波函數的直積。 $|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2+ |\uparrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2+|\downarrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2+ |\downarrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2$ 也是。因為我們可以把它拆解成 $\left(|\uparrow\rangle_1 +|\downarrow\rangle_1\right)\otimes\left(|\uparrow\rangle_2 +|\downarrow\rangle_2\right)$，而 $\left(|\uparrow\rangle_1 +|\downarrow\rangle_1\right)$ 活在 $\mathcal{H}_1$與活在 $\mathcal{H}_2$的 $\left(|\uparrow\rangle_2 +|\downarrow\rangle_2\right)$有各自的量子空間。
第二類型的波函數，我們可以發現波函數 $|\phi_e\rangle=|\uparrow\rangle_1|\downarrow\rangle_2- |\downarrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2$ 就無法拆解成兩個各自活在自己小空間的波函數的直積。
第二類型的波函數，他們是本質上與古典的系統不同的生物。這個時候我們可以比較一下古典系統、第一類波函數和第二類波函數有什麼意義上的不同。 古典系統我們也可以有兩個自旋向上的系統。處在這種組態的古典系統，和處在 $|\uparrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2$ 的量子系統，如果我們在量測自旋向上的機率的話，基本上沒有本質上的分別。都是百分百量到兩顆自旋向上。那如果我們局部的操作其中一個q-bit而不碰觸另外一個q-bit（我們可以這樣做因為一開始他們可以想成兩個活在自己小空間的生物。）。我們可以從 $|\uparrow\rangle_1|\uparrow\rangle_2$變成 $|\phi_p\rangle=\left(c_1|\uparrow\rangle_1+c_2|\downarrow\rangle_1\right)\otimes |\uparrow\rangle_2$。這個時候我們就可以看出來這個 $|\phi_p\rangle$和古典的差別，當我們量測第一個自旋的時候，它會是機率性的自旋向上或向下，而不是古典的情況。但是第一個自旋量測的結果基本上和第二個自旋量測的結果是各自獨立的。所以我們看到 $|\phi_p\rangle$在第一個層面上顯示出量子系統的特性：物理量測結果可以是機率性的。
接下來我們分析第二類波函數， $|\phi\rangle_e$。因為他們沒辦法被拆解成各自活在自己小空間的波函數，當量測了第一個q-bit，我們竟然可以得知第二個q-bit的波函數資訊！因為波函數的塌陷，如果第一個q-bit是自旋向上，那第二個q-bit必定是自旋向下。反之亦然。這個『竟然』就是量子糾纏。也就是第二個層面上由於線性疊加顯示出的量子特性。也就是說，我們很有可能可以利用這種特性去『分類』波函數。去了解波函數的糾纏圖案（entanglment pattern）。我們可以說波函數的糾纏圖案，如果可以利用局部操作轉換成第一類波函數的（不具有量子糾纏），他們屬於一個大的分類。而另外一類波函數無法使用局部操作連結成第一類波函數的（具有量子糾纏），他們屬於另外一個大的分類。
這個時候一個重要的概念，我們之後會有更多的討論，為什麼我們要討論局部的操作？原因主要是，有很大一部分的交互作用是局部的，所以這是一個有意義的討論，我們通常把Hamiltonian視為一個局部的物件。我們當然還是有非局部的交互作用，但是一般情況下我在花蓮縣打翻咖啡我們還是假設這不會造成崎玉市跑出怪獸來。這個從局部操作衍生出來近十年對於量子物質分類的更新一步的了解。之後文章我會更進一步討論局部這個概念。其實這個局部操作的概念另一個部份隱含的是系統具有多體能隙，而多體能隙具有的功能就是藉由能量解離多體Hilbert空間的結構，而這個解離可以讓有趣的等效理論（effective theory）湧現（emerges）而出。而產生More is different的量子版本。什麼是湧現現象？什麼是等效理論？湧現現象是一個很深刻且有趣的現象，之後我會試著介紹這個概念。
從無到有：結構上的不同與可能的應用
這裡我們就可以看出來古典和量子系統有多麼的不同。古典自旋要不然是自旋向上，要不然是自旋向下。古典系統一旦狀態是準備成自旋向上，量測時百分之百會獲得自旋向上的結果。但是量子系統則是就算你準備好了一堆一樣的 $|\psi\rangle$，執行一樣的量測，他的結果竟然是機率性的！而這個機率性的描述框架並不是理論學家為了新奇自己創造出來的，而是反過來實驗上觀察到的現象，讓物理學家發展了這個框架。而這個框架中這個『集中』的概念，也就是古典系統所沒有的線性疊加原理。這是個概念性從0到1的不同。這個本質的不同使得我們有了之後很多重要的概念，比如量子糾纏。
也因為這個本質與古典系統不同，我們擁有新的原理可以操作。古典的電腦是古典位元的運算與操作，當我們擁有新的遊戲規則時，這表示我們可以利用這個新的規則設計不同的演算法。（介紹你好冊：Donald Knuth, “The Art of Computer Programming”。演算法本身就是一個超有趣的應用數學問題。上面那套書，我也只讀一小部份，但是可以欣賞這些不同領域的人的智慧。）適當的了解這個遊戲規則，如果我們可以利用這個新的遊戲規則發展出克服某些難題的演算法，那是多美好的進展。這就是量子電腦的基本目標。
最近的Google實驗上實現所謂的『量子霸權』，也是一個原則上證明，針對某一類問題，利用量子電腦的概念，的確可以有很強大的優勢。雖然這個量子霸權的實驗針對的問題，和一般廣告上的問題（量子化學問題的研究，大幅加速藥品研究；量子電腦幫助的機械學習，大幅增加機械學習應用速度；解決高溫超導問題等等）差距還很大。但是一個原則上的實驗證明依然是讓人感到鼓舞。
不過量子電腦這個看似很容易接受的”新結構可以導致新演算法”的概念，其實很多人不是很看好。我自己是覺得這主要是來自錯誤的訊息，並非Google的錯。我目前理解量子電腦還不是”我們已經有個東西可以解決所有問題”，而是”我們有個新樂高，說不定可以裝出有趣的東西”，雖然目前積木品質不穩定，還沒有幾個積木，使用說明書還沒寫好，目前還是很難玩的開發中計畫。而反過來，當錯誤廣告得太過頭，讓人有了量子電腦會一次性解決所有難題的錯覺，看著還沒有辦法達成太多積木禮物，意識到期待和實際有所落差時，大家就開始會覺得這是個吹牛領域而反彈。所以最重要的還是知道自己在做什麼，搞清楚為什麼這些有意義，對這個領域才是健康的。
很大一部份的問題都是目前正在研究的方向，很容易問出有意義的問題，所以是一個很多人積極拓展的領域（解答不一定容易）。比方說，既然是新的遊戲規則，那表示它可能有長處和短處，什麼樣子的問題量子電腦可以有比古典電腦具有優勢？這類問題和演算法的複雜性有關系（Complexity theory），有理論物理的切入點嗎？許許多多的問題存在，這裡分享一個Les Houches School 的課程資料，有點古老，不過可以快速的吸收一下這種感覺（Les Houches School，是歐陸古老的理論物理暑期學校/會議。和美國的Boulder summer school是世界兩大著名的高品質物理暑期學校。）
量子物質動物園，是由開創這類思維的文小剛教授寫的縱述性文章，非常推薦想進一步了解這段歷史來龍去脈以及近幾年這個領域發展的人。這篇文章可以更進一步培養廣闊的圖像。