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物質態（Phases of matter）大概是什麼？我們想了解什麼？
我們在進入大學以前某個時間點，會學到水有“三態”（或是三相，由於相（phase）這個字很容易和量子力學的相位（phase）搞混，我們接下來就用態來描述我們的物質。），也就是三個物質態–固態（冰）、液態（水）和氣態（水蒸氣）。這大概是我們從小開始的學習過程中最早接觸到和物質態有關的概念。在我那個年代，固態大概是等同有晶格結構的物質，也就是說他們交互作用足夠強，讓每個分子願意依照這個交互作用的指揮，整齊地排列。液態也是有交互作用，但是交互作用沒有固態那麼強烈，所以分子們還是有一些機會不守規矩，所以就不會形成規律的排列。氣態則是另外一個極限，當這些分子們距離太遠的時候，每個分子基本上都聽不到彼此在說什麼，所以就各自做著各自的事情，似乎彼此之間沒有交互作用一般。以上的卡通圖，雖然容易理解，但是卻不容易推廣到不同系統。在物理學上，我們怎麼更精確的定義我們的在說什麼？什麼是物質態？除了三態，我們是不是還有可能有更多的態？
從上面的例子，我們知道，我們描述的對象是一大群分子（$10^{23}$數量級的一大群）。所謂的“態”，抽象來說，就是這一大群分子的行為模式。這裡很特別的，我們描述的不是單一分子的行為模式，我們是描述這一大群分子的行為模式，願意排隊或是不太願意。並且，我們希望可以了解這一大群分子的行為模式所帶來的巨觀物理性質。
熱力學及熱力學的微觀理解–統計力學
物質態的理解的重要工具之一是熱力學。熱力學是描述物質態的一個現象學理論，建立在許許多多的實驗驗證之上。然而，熱力學專注於系統的巨觀物理性質，並不著墨在微觀理論。比如說：什麼是這個現象的微觀自由度？什麼理由導致微觀系統有如此的巨觀行為？改變巨觀參數，如何理解他對微觀系統的物理影響？
那熱力學可以回答什麼樣的問題？我們在巨觀世界最實用的熱力學概念可能就是溫度，藉由溫度這個概念我們可以知道能量的流向。我們從經驗知道，這是一個超級有用的想法，不管是什麼系統，只要他處在熱平衡狀態，我們都可以有一個方法定義出他的溫度是什麼。無論是金屬、塑膠、水、油、氮氣、空氣等等，我們都可以應用這個概念。這個超級廣義的概念超級有用，但是也從這個地方我們發現，如同我們剛提過的，這個概念不是很在意微觀上這些物質的行為是什麼。微觀上，金屬有電子可以傳遞能量，但是塑膠是絕緣體，無法藉由電子傳遞能量；水分子是個有很強氫鍵的小分子，油分子是一個大分子團；氮氣是純的雙原子氣體，空氣是很多不同分子的混合氣體。從各個層面上，這些系統都是非常不一樣的，但是，溫度這個概念卻都可以應用在這些系統中，也說明溫度是一個和微觀細節無關的概念。
熱力學很棒，它幫助我們有一個廣泛的概念去描述多體系統的行為模式，雖然沒有告訴我們微觀上這個多體系統在做什麼，但是給了我們一些巨觀的描述。我們可以問接下來的問題：我們可不可以“更細緻”的理解這些多體系統的微觀理解？這裡我們會遇到的第一個問題是：什麼叫做“更細緻”的理解。熱力學之所以如此廣泛可應用，就是因為我們忽略了一些微觀的細節，使得他的應用範圍更廣泛。如果“更細緻”的意思是要把這些微觀細節放回來，那不是剛好違反我們希望理論廣泛可以應用的精神嗎？反過來說，如果我們找到一個方法，可以把微觀細節放一些回來，但是同時可以連結到熱力學的描述，那就太棒了。因為我們找到一個給我們更多資訊的框架，但是並沒有犧牲這個系統存在熱力學描述的架構。這個建立更強的微觀與巨觀連結的理論框架就是統計力學。
統計力學如何幫助我們發展一個可以刻畫多體系統在平衡態下的不同行為模式呢？為了說明相關概念，我們需要稍微繞到統計力學，簡單的介紹配分函數這個重要的概念。
波茲曼的大膽假設、系綜理論（ensemble theory）與配分函數（partition function）
統計力學有很多種架構方式，其中之一來自於Boltzmann對entropy的領悟
\[S\sim k_B\ln(|\Omega|)\]這個假設，巧妙的隱藏著子系統的統計獨立性並且精要的連結系統的巨觀量（entropy這個熱力學量）和微觀圖像（系統的可能微觀組態在相空間中的體積）。從我們對entropy這個熱力學量的理解，和這個可能組態數量與entropy的特定關係，暗示熱力學系統可能存在特定的統計描述方式。而這個統計描述方式，在許多科學家的努力的發展下成為了統計力學的基石–系綜理論(ensemble theory)。什麼是系綜理論？系綜理論提供一個理論架構，連接微觀組態在特定條件下的機率，當這件事可以達成時，我們就可以使用統計的方式計算出物理量的期望值（expectation value）、變異數（variation）等等，讓我們對於系統的微觀行為有更多的了解。
微正則系綜（microcanonical ensemble）
對於一個獨立系統（isolated systems），概念上最簡單的統計力學描述，就是微正則系綜（microcanonical ensemble）。這個系綜的結構，就是每一個微觀組態（microscopic configurations）的機率都是一樣的。為什麼這個系綜這樣”定義“是合理的？當我們有一個獨立系統，他有各式各樣的微觀組態，這些微觀組態會對應到巨觀的物理量。平衡下巨觀物理量的期望值，是每個微觀組態對該物理量做權重平均。那這個權重怎麼計算？是哪裡來的。微正則系統的精神就是，我們直接假設這些微觀組態的權重都一樣。這看起來很隨意的假設為什麼合理？因為我們知道“大部分”的微觀組態所對應到的巨觀物理量其實非常接近平衡時該物理量的值。並且在我們接近熱力學極限時，這些微觀組態的數量會指數型增加，直到“大部分”幾乎等同於”全部“。在這樣的情況下，當我們假設每個微觀組態的權重都一樣，就會自然地得到我們量測到的巨觀物理量–即是平衡時該物理量的值。我們有很多種方式建立統計力學的架構，這個微正則系綜的概念，也可以當作統計力學的基本假設，並從此建構出整個統計力學的框架（如同李政道教授的統計力學講義的切入手法）
正則系綜（canonical ensemble）與配分函數（Partition function）
微正則系綜概念上清晰，但是我們平常不太會使用它，主要原因是操作上較為困難。除此之外，我們也鮮少面對獨立系統，大部分時候，系統與環境是有一定程度的耦合。系統與環境最簡單的耦合方式之一，就是交換能量，當系統與環境交換能量，並且達到平衡時，我們該如何描述這個系統的統計行為？如果我們把系統和環境一起作為一個獨立系統考慮，並且假設環境足夠大，在與系統達到平衡的過程中溫度為定值，我們就可以建構出另外一個操作上較為容易的系綜–正則系綜（canonical ensemble）。這個系綜與微正則系綜最主要的差別，就是微觀組態, ${\xi_i}$,的機率與波茲曼因子（Boltzmann facotr）, $e^{-\beta H({\xi_i})}$, 成正比。這裡我們引入一個統計力學常用的符號$\beta\equiv(k_BT)^{-1}$。$H({\xi_i})$是微觀態$\xi$對應到的能量。當我們知道機率與某個表示成正比時，我們可以利用機率的歸一條件（Normalization condition）得到歸一常數（Normalization constant）這個歸一常數，就是配分函數（Partition function）,$Z$。通常表示為
\[Z=\sum_{ \{\xi_i\}} e^{-\beta H(\{\xi_i\})}\text{.}\]從波茲曼因子和配分函數，我們就有完整描述系統統計行為的能力，也因此可以對應到自由能、比熱、等等的熱力學訊息。也因此，當我們獲得配分函數或是可以理解配分函數，通常表示我們已經對這個系統有一定的基礎理解。
朗道理論（Ginsburg-Landau theory）
接下來的問題是：怎麼理解這個配分函數？最直覺的做法：我們就把它算出來，把這些指數們全部加起來。但是問題來了，針對一個熱力學系統，我們有許許多多的自由度，也就是說$e^{-\beta H({\xi_i})}$一般來說是一個複雜的物件，我們無法直接獲得答案。
統計力學的基本範例之一，就是如何建構理想氣體的配分函數。由於不具有交互作用，理想氣體自由度的統計行為是各自獨立，導致配分函數可以被因式分解，而成為一個可以嚴格計算出的解析結果。但是，一但引入交互作用，這個統計獨立性不存在，通常只有非常特殊的系統，才有機會獲得解析的結論。因此，如果要以直接計算作為手段，通常需要數值方法，依靠電腦幫助我們理解這個系統。
我們可以問：有沒有什麼“物理”的思維，可以幫助我們了解配分函數？朗道的洞見就是：為什麼我們要用蠻力計算配分函數？我們雖然有一個複雜的$e^{-\beta H({\xi_i})}$，但是不代表我們不具有其他的資訊。一個重要的資訊，就是系統的對稱性（symmetry）。我們該如何使用對稱性，簡化我們的思維？除此之外，我們在意的$H({\xi_i})$通常也是物理的Hamiltonian，也就是說通常是一個local的物件（local是什麼意思？）。利用系統的對稱性，以及Hamiltonian是local的概念，朗道提出：或許我們應該引入一個物件–序參量（order parameter）。這個序參量物件是一個local的物件，並且與系統的對稱性有關。利用序參量，我們可以把系統的配分函數中的波茲曼因子，根據序參量的分佈分類並且加總。而配分函數，就變成一個序參量的泛函（functional）。這個泛函對應到的，就是所謂的朗道自由能（Landau free energy）。這個簡單但是廣泛可用的概念，讓朗道相變理論成為物質態分類的一個重要框架。
朗道理論的挑戰
朗道相變理論是如此的成功，從聚合物物理（polymer physics）到超導體（superconductivity）都可以看到他的影子。朗道理論遇到的第一個挑戰是臨界現象（critical phenomena）中的異常因次（anomalous dimension）。這個挑戰，也帶出了重整化群（renormalization group）的發展。給出關於現象學理論的理論。讓朗道理論解釋物質相的框架，更趨完備。
除了臨界現象的挑戰外，我們可以從朗道理論的根源問：有沒有什麼東西違反locality的假設？臨界現象的基礎假設之一。2016的諾貝爾物理獎，針對如何以古典以及量子的方法，找到突破locality這個假設的機制。古典上，可以利用拓墣缺陷製造非顯然的物理，這就是有名的BKT相變（Berezinskii–Kosterlitz–Thouless transition）；量子上，量子糾纏（quantum entanglement），一個本質上非local，不存在古典類比的概念，可以讓物質態的分類，跳脫朗道理論框架，更加的豐富有趣。2016年諾貝爾獎也因此頒給Haldane phase的發現者。就像許多諾貝爾獎一樣，這些新發現，都打開了通往更多有趣物理的大門。Haldane phase其實是眾多具有非顯然量子糾纏結構物質態的冰山一角。