因次分析

常常聽到中小學討論乘法的交換率的問題。就數而言 $3\times 4=4\times3$。但實際生活中乘法的應用其實是有單位的。（a)4堆橘子每堆3顆和(b)3堆橘子每堆4顆，在某些情況下可能不相同。所以如果計算(a)橘子總數，應該要以 4堆$\times$3顆/堆。然後因次“堆”會被約分消掉而得到$4\times3$顆。這個看似無聊的計算，告訴我們知道自己在做什麼很重要，不應只是了解到$3\times 4=4\times3$ 這個所謂的乘法交換率。

因次分析在物理上除了可以建立直覺，甚至可以非常有效率地幫計算除錯。另外一個很酷的用途是拿來證明畢氏定理。

對於一個直角三角形 ABC, 角$C$為直角，角$A$對的邊是$a$，其餘類推。我們有以下的基礎了解

1. 只要知道斜邊長$c$，以及其中一個非直角的角的角度大小（比方說$A$），直角三角形的面積就唯一決定。
2. 從因次分析，面積的單位必定是長度單位的平方。
3. 從1.和2. 我們可以假設這個三角形面積是 $c^2f(A)$。$c$是斜邊長，$f(A)$是一個函數，但是是一個沒有因次的函數。這個假設的來源是，從1.和因為只有兩個參數（$c$和$A$）就決定面積的大小。而這兩個參數其中之一$c$的單位是長度，$A$沒有單位（度其實不是單位，有的時候也可以把他換成rad。）。為了從$c$和$A$湊出長度的平方也就是面積的單位，只能用一種湊法就是 $c^2f(A)$。
4. 做一條垂直c通過C的補助線，把三角形切成兩塊相似原本大三角形的小三角形。兩個小三角形面積加起來就是大三角形面積。也就是$c^2f(A)=a^2f(A)+b^2f(A)$。等號兩邊把$f(A)$消掉，因為他一定不會是0所以可以很安全的做這件事。就得到畢氏定理。

除此之外，另外一個很重要的概念是：當我們要比大小的時候，只有數這個概念可以比大小。什麼意思？舉例來說：如果我問100公分是不是比3還大？這個問題是沒有意義的。因為我在比較一個長度和一個數。（如果你覺得答案是100比3大，這不是廢話，當然可以比大小，老師你是不是搞不清楚自己在說什麼。那考慮我們換個單位問一樣的問題：100公分等於0.1公尺，那0.1公尺是不是小於3？）這個看似基礎的概念，其實非常重要。因為知道自己在幹什麼是一件非常重要的事情。當你在任何時候聽到要做近似，書上說某個量很小，第一個問題是，跟什麼比起來很小？1公分是不是小於2公尺？是，因為我們可以把單位換成一樣，然後如上述討論的把單位除掉，我們就得到要比較的是兩個數：1和200，我們當然知道這兩個數誰大誰小。